Bilangan pada awalnya hanya
dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para
pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat
untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting
bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita
akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu
dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik,
filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.
Bilangan dahulu kala digunakan
sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang
masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan
bilangan dalam bentuk simbol, diantaranya :
·
Simbol bilangan bangsa Babilonia.
·
Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500
tahun SM.
·
Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang
dibuat bangsa Mesir Kuno.
·
Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada
abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh umat Islam di seluruh dunia.
·
Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno.
·
Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih
dipakai hingga kini.
Dalam perkembangan selanjutnya,
pada abad ke-X ditemukanlah manuskrip Spanyol yang memuat penulisan simbol
bilangan oleh bangsa Hindu-Arab Kuno dan cara penulisan inilah yang menjadi
cikal bakal penulisan simbol bilangan yang kita pakai hingga saat ini.
v Perkembangan Teori Bilangan
ü Teori Bilangan Pada suku Babilonia
Matematika Babilonia merujuk pada
seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak
permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai “Matematika
Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar.
Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika
Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah
Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat
penting pengkajian Matematika Islam.
Bertentangan dengan langkanya
sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan lebih dari 400 lempengan tanah liat yang
digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat
masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari.
Bukti terdini matematika tertulis
adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia.
Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira
2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah
liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian.
Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.
Sebagian besar lempengan tanah liat
yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi
topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan
bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu
juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan
persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang
akurat sampai lima tempat desimal.
Matematika Babilonia ditulis
menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya
penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360
(60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit
pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti
orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat
yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan
nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal.
ü Teori Bilangan Pada Suku Bangsa Mesir
Kuno
Matematika Mesir merujuk pada
matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik
matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang
membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut
di bawah Khalifah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa
Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.
Tulisan matematika Mesir yang
paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga “Lembaran
Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi
mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan
Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi
pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan
cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga
menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit
dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman
sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan
6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga
barisan aritmetika dan geometri.
Naskah matematika Mesir penting
lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh
kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali
ditujukan sebagai hiburan.
ü Teori Bilangan Pada Suku Bangsa India
Sulba Sutras (kira-kira 800–500 SM)
merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional,
bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik, menghitung akar kuadrat dari 2 sampai
sebagian dari seratus ribuan, memberikan metode konstruksi lingkaran yang
luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan linear dan
kuadrat, mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan
pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras.
Kira-kira abad ke-5 SM merumuskan
aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang sama dengan notasi
matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan
rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalah
prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner.
Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari teorema
binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.
Pada sekitar abad ke 6 SM, kelompok
Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap (perfect number),
bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime number), bilangan
segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square number), bilangan
segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan segibanyak (figurate
numbers) yang lain. Salah satu sifat bilangan segitiga yang terkenal sampai
sekarang disebut triple Pythagoras, yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya
melalui perhitungan luas daerah bujur sangkar yang sisi-sisinya merupakan
sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring (hypotenosa) adalah c, dan
sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang lain yang sangat popular
sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan bilangan komposit. Bilangan
prima adalah bilangan bulat positif lebih dari satu yang tidak memiliki Faktor
positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan positif selain satu dan
selain bilangan prima disebut bilangan komposit. Catatan sejarah menunjukkan
bahwa masalah tentang bilangan prima telah menarik perhatian matematikawan
selama ribuan tahun, terutama yang berkaitan dengan berapa banyaknya bilangan
prima dan bagaimana rumus yang dapat digunakan untuk mencari dan membuat daftar
bilangan prima.
Dengan berkembangnya sistem
numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis untuk landasan kerja,
terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui langkah-langkah tertentu,
yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari algoritma dikerjakan oleh
Euclid. Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar
geometri dan teori bilangan. Buku Euclid yang ke VII memuat suatu algoritma
untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar dari dua bilangan bulat positif
dengan menggunakan suatu teknik atau prosedur yang efisien, melalui sejumlah
langkah yang terhingga. Kata algoritma berasal dari algorism. Pada zaman
Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata Algorism bersumber dari nama seorang
muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu Ja’far Muhammed
ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya (Al-Khowarizmi), mengilhami
lahirnya istilah Algorism. Istilah algoritma masuk kosakata kebanyakan orang
pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun 1950.
Pada abad ke 3 S.M., perkembangan
teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang sekarang terkenal
dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of Erastosthenes). Dalam enam
abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang bernama Arithmetika, yang
membahas penyelesaian persamaan didalam bilangan bulat dan bilangan rasional,
dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun geometris seperti yang dikembangkan
oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang ini, Diopanthus disebut sebagai salah
satu pendiri aljabar.
ü Teori Bilangan Pada Masa Sejarah
(Masehi)
Awal kebangkitan teori bilangan
modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783),
J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859),
Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson
(1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika,
Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan
untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of
mathematics.
Pada masa ini, teori bilangan tidak
hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai
bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan
konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain
sebagainya.
v Tokoh-Tokoh Teori Bilangan
Ø Pythagoras (582-496 SM)
Pythagoras adalah seorang
matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal
sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang penting terhadap
filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.
Salah satu peninggalan Pythagoras
yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat
hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari
kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini
telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini
dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan
pengamatan ini secara matematis.
Ø Jamshid Al-Kashi (1380 M)
Al-Kashi terlahir pada 1380 di
Kashan, sebuah padang pasir di sebelah utara wilayah Iran Tengah. Selama
hidupnya, al-Kashi telah menyumbangkan dan mewariskan sederet penemuan penting
bagi astronomi dan matematika.
Pecahan desimal yang digunakan oleh
orang-orang Cina pada zaman kuno selama berabad-abad, sebenarnya merupakan
pecahan desimal yang diciptakan oleh al-Kashi. Pecahan desimal ini merupakan
salah satu karya besarnya yang memudahkan untuk menghitung aritmatika yang dia
bahas dalam karyanya yang berjudul “Kunci Aritmatika” yang diterbitkan pada
awal abad ke-15 di Samarkand.
Ø Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M)
Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam lahir
Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan nama Alhazen. Al-Haytam
adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan sempurna yang
genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-pembagi sejatinya,
seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima.
Selanjutnya Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)!
habis dibagi oleh p.
Ø Pierre de Fermat
Fermat menuliskan bahwa “I have
discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”.
Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia
pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat
menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah,
karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang
Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3
dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini)
namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya
matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat
membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat
tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak
ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama
dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapat
bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk
mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap
ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk
kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka
jika n = pq, .
v Kapankah angka nol ditemukan?
Zero = 0 = Empty = Kosong (Nol)
Memang, kata dalam Bahasa Inggris ‘zero’ (nol) berasal dari bahasa Arab ‘sifr’,
suatu terjemahan literal dari bahasa Sanskrit “shûnya” yang bermakna “kosong”.
Runtutan keterkaitan bahasa dari masa ke masa: shûnya (Sanskrit) -> (Ancient
Egypt/Babylonia) -> (Greek/Helenic) -> (Rome/Byzantium) – sifr (Arab)
-> zero (English) -> nol; kosong (Indonesia) Wikipedia The word “zero”
comes ultimately from the Arabic “sifr”, or “empty,” a literal translation of
the Sanskrit “shûnya”. With its new use for the concept of zero, zephyr came to
mean a light breeze – “an almost nothing” (Ifrah 2000; see References). The
word zephyr survives with this meaning in English today. The Italian mathematician
Fibonacci (c.1170-1250), who grew up in Arab North Africa and is credited with
introducing the Arabic decimal system to Europe. Around the same time, the Arab
mathematician al-Khwarizmi described the “Hindu number” system with positional
notation and a zero symbol in his book Kitab al-jabr wa’l muqabalah. Nol
asalnya dari India “shûnya” bukan cuma sebuah istilah, tapi juga konsep.
Sekitar tahun 300 SM orang
babilonia telah memulai penggunaan dua buah baji miring, //, untuk menunjukkan
sebuah tempat kosong, sebuah kolom kosong pada Abakus. Simbol ini memudahkan
seseorang untuk menentukan letak sebuah simbol. Angka nol sangat berguna dan
merupakan simbol yang menggambarkan sebuah tempat kosong dalam Abakus, sebuah
kolom dengan batu-batu yang ditempatkan di dasar. Kegunaannya hanya untuk
memastikan bahwa butiran-butiran tersebut berada di tempat yang tepat, angka
nol tidak memiliki nilai numeric tersendiri.
Pada komputer nol ini dapat
merusak sistem, karena nol diartikan tidak ada. Berapapun bilangan dikalikan
dengan nol hasilnya tidak ada. Nah inilah yang membuat bingung dalam operasi
perhitungan.
Perhatikan contoh ini :
0=0 ( nol sama dengan nol, benar)
0 x3=0 x 89 (nol sama-sama dikalikan dengan sebuah bilangan,
karena juga akan bernilai nol)
(0 x 3)/0= (0 x 89)/0 (sebuah bilangan dibagi dengan
bilangan yang sama, akan bernilai satu)
3=89 (???, hasil ini yang membuat bingung)
Walaupun demikian sebenarnya nol
itu hebat, jika tidak ditemukan angka nol tulisan satu juta dalam bilangan
romawi ditulis apa?? Bisa-bisa selembar kertas tidak sampai untuk hanya
memberikan simbol satu juta itu. Bisa dibayangkan jika nol tidak ada. Banyak
kekuatan yang terkandung dalam angka ini. Nol adalah perangkat paling penting
dalam matematika. Namun berkat sifat matematis dan filosofis yang aneh pada
angka nol, ia akan berbenturan dengan filsafat barat.
Angka nol berbenturan dengan salah
satu prinsip utama filsafat barat, sebuah dictum yang akar-akarnya terhujam
dalam filsafat angka Phythagoras dan nilai pentingnya tumbuh dari paradoks
Zeno. seluruh cosmos Yunani didirikan di atas pilar: tak ada kekosongan.
Kosmos Yunani yang dis=ciptakan
oleh Phytagoras, Aristoteles dan Ptolemeus masih lama bertahan setelah
keruntuhan peradaban Yunani. Dalam kosmos ini tak ada ketiadaaan. Oleh karena
itu, hampir sepanjang dua milinium orang-orang barat tak bersedia menerima
angka nol. Konsekuensinya sungguh menakutkan. Ketiadaan angka nol menghambat
perkembangan matematika, menghalangi inovasi sains dan yang lebih berbahaya,
mengacaukan sistem penanggalan.
v Macam-macam bilangan
Bilangan Bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan
positif, bilangan nol, dan bilangan negatif.
Misal : ….-2,-1,0,1,2….
Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali
dari angka 1(satu) sampai tak terhingga.
Misal : 1,2,3….
Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali
dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga.
Misal : 0,1,2,3,….
Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua
faktor yaitu bilangan 1 (satu) dan bilangan itu sendiri.
Misal : 2,3,5,7,11,13,…..
(1 bukan bilangan prima, karena mempunyai satu faktor saja).
Bilangan komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan
bukan bilangan prima.
Misal ; 4,6,8,9,10,12,….
Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai
suatu pembagian antara dua bilangan bulat (berbentuk bilangan a/b, dimana a dan
b merupakan bilangan bulat).
Misal: 1/2 ,2/(3 ),3/4….
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat
dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat.
Misal: π, √3 , log 7 dan sebagainya.
Bilangan riil adalah bilangan yang merupakan penggabungan
dari bilangan rasional dan bilangan irrasional
Misal: 1/2 √(2 ),1/3 √5,1/4 π,2/3 log2 dan
sebagainya.
Bilangan imajiner (bilangan khayal) adalah bilangan yang
ditandai dengan i, bilangan imajiner i dinyatakan sebagai √(-1). Jadi, jika i =
√(-1) maka i2= -1
Misal: √(-4)=⋯?
√(-4)=√(4×(-1) )
= √4×√(-1)
= 2 × i
= 2i
Jadi, √(-4)=2i.
Bilangan kompleks adalah bilangan yang merupakan
penggabungan dari bilangan riil dan bilangan imajiner.
Misal; π√(-1)= πi
Log √(-1)=logi
No comments:
Post a Comment